Объясните пожалуйста нормальным языком, что такое ортонормированный базис?

Объясните пожалуйста нормальным языком, что такое ортонормированный базис?

  1. это когда вектора базиса взаимноперпендикулярны, и их длины равны 1

  2. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
    Любую ортонормированную систему векторов конечномерного евклидова пространства можно дополнить до ортонормированного базиса.

    Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

    Если e1, e2, ..en ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

    x = x1e1 + x2e2 + .+xnen разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..n.

    Пространство n-мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x1y1+ x2y2 + .+xnyn #8722; n-мерное евклидово пространство.

    Векторы e1= (1, 0, 0,...0, 0), e2= (0, 1, 0,...0, 0), ..en-1= (0, 0, 0,...1, 0), en= (0, 0, 0,...0, 1),

    образуют ортонормированный базис пространства Rn.

    Очевидно, что (ei, ej) = 0, если i #8800; j ,(ei, ei) = 1.
    ******************************************

    Ортонормированный базис

    Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

    Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

    Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

    Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

    линейно независимы.
    Тогда .
    Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

    Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

    D1 =

    ;
    D2 =

    D3 =

    Итого, координаты вектора в базисе , ,: { -1/4, 7/4, 5/2}.

    Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А (х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

    Если точка М (х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

    В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

    x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *